“Makine yılda ortalama altı kez arızalanıyor” ifadesi, “bir yılda arızalanma olasılığı %6” demek değildir. Biri olay sayısını, diğeri belirli bir olayın gerçekleşme ihtimalini anlatır. Nicel risk modelinde bu ikisini karıştırmak, daha dağılım seçimine gelmeden modeli yanlış kurabilir.
Sayı ve olasılık arasındaki ayrım teknik bir ayrıntı gibi görünse de çıktı üzerindeki etkisi büyüktür. Birden fazla olayın mümkün olduğu süreçte yalnızca ilk arızayı modellemek kaybı eksik bırakabilir. Bir yıllık sayıyı her ay aynı değerle kullanmak da zaman ölçeğini yanlış büyütebilir.
Üç farklı büyüklük
Gerçekleşen olay sayısı, seçilmiş dönemdeki bir gözlemdir: örneğin bir yılda dört arıza. Beklenen olay sayısı, aynı koşullar altında tekrarlanan dönemler için modelin ortalamasıdır: örneğin altı. En az bir olay olasılığı, seçilen dönemde olay sayısının sıfırdan büyük olma ihtimalidir ve sıfır ile bir arasındadır.
Beklenen sayı tam sayı olmak zorunda değildir. Bir yılda ortalama 0,3 büyük kesinti, tek bir yılda “0,3 kesinti” olacağı anlamına gelmez. O dönem için gerçekleşen sayı 0, 1, 2 veya başka bir tam sayıdır. Ortalama, dönemler arası dağılımın bir özelliğidir.
Olasılık ise hangi olayın sorulduğunu belirtmelidir. “Tam üç arıza”, “en az bir arıza” ve “beşten fazla arıza” farklı olaylardır. Zaman ufku değişince bu olayların olasılıkları da değişir. Bir sayı etiketi, açık olay tanımının yerini tutmaz.
Bernoulli neyi anlatır?
Bir Bernoulli değişkeni iki sonuç alır: olay gerçekleşirse 1, gerçekleşmezse 0. Tek bir deneyde, cihazın belirli bir testte arızalanması veya bir siparişin gecikmesi gibi evet/hayır sorularına uygundur. Parametre p, bu tanımlı deneyin başarı/olay olasılığıdır.
Bir dönemde birden fazla arıza olabilirken Bernoulli kullanmak, sayıyı değil “oldu mu?” bilgisini korur. Bu doğru bir özet olabilir ama birden fazla arızanın kaybını hesaplamak için tek başına yeterli değildir. Model seçimi, soruya göre yapılır; basitlik her durumda yanlış, karmaşıklık da her durumda doğru değildir.
Sabit sayıda bağımsız ve aynı p'ye sahip Bernoulli deneyinin toplamı Binomial modeliyle ele alınabilir. Ancak aynı tesisteki makineler ortak elektrik kesintisinden etkileniyorsa bağımsızlık varsayımı sorgulanmalıdır. “Bir cihaz = bir bağımsız deney” otomatik bir gerçek değildir.
Poisson sayıyı modeller
Poisson dağılımı, seçilmiş bir zaman ufkundaki olay sayısı için sık kullanılan bir modeldir. Parametre λ o ufukta beklenen olay sayısıdır. Dağılımın ortalaması ve varyansı λ'dır. Bu eşitlik, veriye uyum bakımından da incelenmesi gereken bir model özelliğidir.
Bir yıldaki arıza sayısını N ~ Poisson(6) olarak varsayalım. Modelin sıfır olay olasılığı:
P(N = 0) = exp(-6)
P(N ≥ 1) = 1 - exp(-6) ≈ 0,99752
Yani en az bir arıza olasılığı yaklaşık %99,75 olur. Bu sayı %6 değildir. Ayrıca “en az bir” bilgisi, yıl içindeki diğer olayları yok saymaz; N yine birden fazla değer alabilir. Hesap, Poisson varsayımı altında eğitim örneğidir, gerçek tesis olasılığı değildir.
Olasılıkların toplamı ve support'u da kontrol edilmelidir. Sayı negatif olamaz; dağılım tüm negatif olmayan tam sayılara olasılık verir. Bir örnek, ortalama altı olmasına rağmen altı olayla sınırlı değildir. Ortalama üst sınır olarak yorumlanmamalıdır.
Zaman birimini açıkça yazın
Sabit olay hızı varsayımı altında yıl başına altı olay, bir aylık ufuk için ortalama 0,5 olay anlamına gelir. Buna göre bir ayda en az bir olay olasılığı 1 − exp(-0,5), yaklaşık %39,35'tir. Yıllık %99,75'i on ikiye bölmek aynı hesabı vermez.
Burada sabit hız önemli bir koşuldur. Mevsimsel talep, bakım dönemleri, ekipman yaşı veya çalışma saatleri değişiyorsa takvim yılıyla basit ölçekleme uygun olmayabilir. Güncel exposure tanımı gerekir: makine-saat, çalışma günü veya başka bir ölçü.
Geçmiş yılda altı olay gözlemek de λ'nın kesin olarak altı olduğunu kanıtlamaz. Tahmin belirsizliği, gözlem sayısı ve veri toplama yöntemi değerlendirilmelidir. “Ortalama = 6” bir tahminse kaynağı ve belirsizliği modelde tutulmalıdır.
Poisson ne zaman sorgulanır?
Olaylar kümeleniyorsa, bir arıza diğerini tetikliyorsa, görünmeyen ortak koşullar varsa veya olay hızı önemli ölçüde değişiyorsa basit Poisson uygun olmayabilir. Verideki varyansın ortalamadan farklı olması bir tanılama işaretidir; tek başına hangi alternatifin doğru olduğunu söylemez.
Negative Binomial, ortak faktörler, farklı exposure veya zamana bağlı olay modelleri alternatif araştırma konusu olabilir. Bunlar otomatik çözümler değildir. Veri desteği, mekanizma ve model amacıyla karşılaştırılmaları gerekir. Dağılım seçmek, varsayımları inceleme işini bitirmez.
Risk Studio'nun hedef AI Advisor rolü burada aday sunmalı ve gerekçe açıklamalı; kanıtsız biçimde parametreyi kesinleştirmemeli. Ajanın “Poisson uygundur” cümlesi istatistiksel fitting veya model validation kanıtı sayılmaz.
Sıklığı kayba bağlamak
Olay sayısı N ve olay başına kayıp X ayrı tanımlanırsa yıllık toplam L = Σ Xᵢ olarak kurulabilir. Uygun bağımsızlık/özdeş dağılım koşullarında beklenen kayıp E[N] × E[X] olur. Bu, “olay olasılığı × tek olay kaybı” yaklaşımının her probleme doğrudan uygulanamayacağını gösterir.
Üretim örneğinde yalnızca tamir bileşeni için ortalama altı olay ve 50.000 TL olay başına beklenen maliyet, 300.000 TL/yıl analitik referans verir. Duruş süresi ve saatlik kayıp eksik olduğu için toplam tesis kaybı sayısı üretmez.
Model kurmadan önce kontrol edin
Olayın tanımı, zaman ufku ve exposure belli mi? Birden fazla olay mümkün mü? Gözlenen sayı, beklenen sayı ve olay olasılığı ayrı mı? Parametre gözlem mi, tahmin mi, uzman varsayımı mı? Olaylar ortak koşullardan etkileniyor mu? Seçilen modelin varyans ve bağımlılık kabulleri incelendi mi?
Bu sorular, yalnızca doğru formülü seçmekten önce gelir. Frequency–severity yazısı bir sonraki adımda sayı ile büyüklüğü birlikte kurar.
Kaynak ve yayın notu
- SciPy: Poisson dağılımı, PMF ve parametre tanımı.
- Ürün iş akışı: hedeflenen model/varsayım ayrımı.
Bu yazı AI desteğiyle hazırlanmıştır. Sayısal örnekler analitik ifadelerle kontrol edilmiştir; gerçek işletme verisi, kalibrasyon sonucu veya çalışan Risk Studio çıktısı değildir.