Bir yıllık kaybın ortalaması 100.000 TL ise 100.000 TL bütçe yeterli midir? Bu soruya yalnızca ortalamadan yanıt verilemez. Bazı yıllar çok az, bazı yıllar çok büyük kayıp oluşabilir. Bütçeyi aşma ihtimali veya en kötü bölümdeki ortalama kayıp, farklı sorulardır.
Beklenen kayıp, Value at Risk (VaR) ve Conditional Value at Risk/Expected Shortfall (CVaR/ES), bir dağılımı farklı biçimlerde özetler. Hiçbiri tek başına tüm riskin resmi değildir. Hangi ölçütün önemli olduğu, kararın amacına ve kayıp toleransına bağlıdır.
Önce ölçüm yönünü belirleyin
Burada L, artması olumsuz olan kayıp değişkenidir. Finansal getiri için kurulan bir tanımla kayıp için kurulan tanımın işaret yönü farklı olabilir. Sayfalar veya araçlar arasında metrik aktarırken kayıp/getiri yönü açıkça yazılmalıdır.
Dönem ve para birimi de metrikle birlikte taşınır. Bir aylık TL kaybı ile yıllık dolar kaybının aynı isimli VaR değerlerini doğrudan karşılaştıramazsınız. Nominal maliyet, enflasyon varsayımı veya exposure kapsamı değişmişse karşılaştırma zemini ayrıca açıklanmalıdır.
“Ana sonuç = VaR” seçimi bu hazırlığı atlamamalıdır. Modelde nelerin kayıp sayıldığı, hangi bileşenlerin eksik kaldığı ve hangi ufkun kullanıldığı, tablonun başında görünmelidir.
Beklenen kayıp ne söyler?
Beklenen kayıp E[L], dağılımın ortalamasıdır. Tek bir dönemde gerçekleşecek tutarı veya üst sınırı söylemez. Beklenen değer sonlu ve tanımlıysa, birçok bağımsız benzer dönemin ortalamasına ilişkin anlamlı bir referans sağlar.
Bir olayın %90 olasılıkla sıfır, %10 olasılıkla 1.000.000 TL kayıp ürettiğini varsayalım. Beklenen değer 100.000 TL'dir. Gerçekleşebilecek değerler bu basit örnekte sıfır veya bir milyondur; “ortalama yıl” adıyla 100.000 TL sonuç gerçekleşmez.
Beklenen değer, maliyet karşılaştırmaları için yararlı olabilir. Ancak likidite veya süreklilik ihtiyacı, dağılımın büyük kayıplarını ayrıca incelemeyi gerektirebilir. Sadece ortalamayı azaltan bir müdahale kuyrukta farklı bir etki yaratabilir.
VaR bir yüzdeliktir
Kayıp yönünde α düzeyindeki VaR, dağılımın α quantile'ıdır. Yaygın tanım VaRα = inf{l : P(L ≤ l) ≥ α} biçimindedir. Örneğin %95 VaR, ilgili modelde kaybın bu eşiği aşmama olasılığının en az %95 olduğu en küçük eşiği ifade eder.
Bu eşik bir maksimum değildir. Aşıldığı zaman kaybın ne kadar büyük olabileceğini de söylemez. Ayrıca “%95 güvenilir ürün” veya “model %95 doğrudur” anlamına gelmez; bu yüzde dağılımdaki konuma aittir, modelin gerçekliği temsil gücüne değil.
Sonlu Monte Carlo örneklerinde quantile tahmin yöntemi belirtilmelidir. Sıralı gözlemin seçimi ve interpolasyon yaklaşımı küçük örneklerde farklı sonuç verebilir. Birden çok yazılım çıktısını kıyaslarken aynı yöntemi kullanmak önemlidir.
Expected Shortfall kuyruğun ortalamasına bakar
ES, kayıp dağılımının üstte kalan 1 − α bölümünün ortalaması olarak düşünülebilir. Quantile fonksiyonunun üst bölümdeki integrali üzerinden tanımlanması, ayrık dağılımlarda eşik kütlesinin doğru ele alınmasını sağlar.
Sürekli ve uygun düzenlilikteki dağılımlarda bu değer, VaR'ın üstündeki koşullu ortalamayla ifade edilebilir. Ancak genel olarak ES = E[L | L ≥ VaR] eşitliğini her dağılıma uygulamak doğru değildir. VaR eşiğinde büyük bir olasılık kütlesi varsa kuyruğa bu kütlenin yalnızca gereken kısmı alınmalıdır.
CVaR terimi literatür ve yazılımda farklı tanım ayrıntılarıyla kullanılabilir. Bu yüzden rapor yalnızca isim değil yöntem de taşımalıdır. Hangi kuyruk, hangi yön, hangi ağırlık ve hangi eşik kütlesi kuralının kullanıldığı açıklanmalıdır.
Ayrık bir örnek neden önemli?
Şu eğitim dağılımını ele alalım: %94 olasılıkla 0 TL, %4 olasılıkla 100 TL, %2 olasılıkla 1.000 TL kayıp. Beklenen kayıp 24 TL'dir. %95 VaR, 100 TL olur; çünkü 0 noktasındaki birikimli olasılık %94, 100 noktasındaki %98'dir.
En kötü %5'lik bölümde önce %2'lik 1.000 TL kayıp bulunur. Kalan %3, 100 TL eşiğindeki %4'lük kütleden alınır. Bu nedenle:
ES₉₅ = (0,02 × 1.000 + 0,03 × 100) / 0,05
= 460 TL
Buna karşılık L ≥ 100 koşulundaki tüm gözlemlerin ortalaması (0,02 × 1.000 + 0,04 × 100) / 0,06 = 400 TL olur. İki değer farklıdır. ES için kuyruk büyüklüğü tam %5 olarak tutulur; koşullu ortalama %6'lık grubu kullanmıştır.
Bu basit dağılım gerçek işletme ölçümü veya simülasyon çıktısı değildir. Ama eşik kütlesini görmezden gelmenin, küçük sayısal örnekte bile sonucu değiştirdiğini gösterir.
Eşik aşımı hangi soruyu cevaplar?
Bazen ihtiyaç yüzdelik değil, belirlenmiş bütçeyi aşma olasılığıdır: P(L > B). Bu bir olasılık olarak, model ve bütçe B ile birlikte raporlanır. > ve ≥ seçimi özellikle ayrık dağılımda önemlidir; eşikteki kütle sonucu değiştirebilir.
VaR, “verilen olasılığa karşılık gelen eşik”; aşım olasılığı ise “verilen eşiğe karşılık gelen olasılık” sorusudur. Aynı dağılıma bakarlar ama girişleri farklıdır. Karar sorusu bütçe sınırına odaklıysa aşım eğrisi daha doğrudan bir anlatım sağlayabilir.
Tahmin belirsizliğini metrikten ayırın
Monte Carlo örnek sayısı azsa kuyrukta çok az gözlem kalabilir. %99 ES'yi 1.000 örnekten tahmin ederken üst %1'de yaklaşık on gözlem vardır; bunun her problemde yeterli olduğu söylenemez. Parametre belirsizliği ve dağılım seçimi bu sayısal hata dışında ek riskler taşır.
Bu yüzden sonuç bir ondalık yarışına dönmemeli. Uygun hata değerlendirmesi, örnekleme yöntemi, alternatif varsayım ve istikrar kontrolleri gerekir. Bir metrik sayıdan ibaret değil, yöntem ve sınırlama kaydıdır. Verification/validation ayrımı bu sınırların neden önemli olduğunu açıklar.
Kaynak ve yayın notu
- R. Tyrrell Rockafellar ve Stanislav Uryasev, Conditional value-at-risk for general loss distributions, Journal of Banking & Finance (2002). DOI: 10.1016/S0378-4266(02)00271-6.
- Risk Studio örnek modeli: eksik girdiler olduğunda toplam kayıp VaR/ES'si yayımlanmamasının nedeni.
AI desteğiyle hazırlanmıştır. Ayrık dağılım hesapları kontrol edilmiştir. İçerik yöntem eğitimidir; çalışan ürün sonucu veya belirli bir karar için tavsiye değildir.